Download e-book for kindle: Vorlesungen über partielle Differentialgleichungen by Vladimir I. Arnold, T. Damm

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By Vladimir I. Arnold, T. Damm

Nach seinem bekannten und viel verwendeten Buch ?ber gew?hnliche Differentialgleichungen widmet sich der ber?hmte Mathematiker Vladimir Arnold nun den partiellen Differentialgleichungen in einem neuen Lehrbuch. In seiner unnachahmlich eleganten paintings f?hrt er ?ber einen geometrischen, anschaulichen Weg in das Thema ein, und erm?glicht den Lesern so ein vertieftes Verst?ndnis der Natur der partiellen Differentialgleichungen. F?r Studierende der Mathematik und Physik ist dieses Buch ein Muss.

Wie alle B?cher Vladimir Arnolds ist dieses Buch voller geometrischer Erkenntnisse. Arnold illustriert jeden Grundsatz mit einer Abbildung. Das Buch behandelt die elementarsten Teile des Fachgebiets and beschr?nkt sich haupts?chlich auf das Cauchy-Problem und das Neumann-Problems f?r die klassischen Lineargleichungen der mathematischen Physik, insbesondere auf die Laplace-Gleichung und die Wellengleichung, wobei die W?rmeleitungsgleichung und die Korteweg-de-Vries-Gleichung aber ebenfalls diskutiert werden. Die physikalische instinct wird besonders hervorgehoben. Eine gro?e Anzahl von Problemen ist ?bers ganze Buch verteilt, und ein ganzer Satz von Aufgaben findet sich am Ende.

Was dieses Buch so einzigartig macht, ist das besondere expertise Arnolds, ein Thema aus einer neuen, frischen Perspektive zu beleuchten. Er l?ftet gerne den Schleier der Verallgemeinerung, der so viele mathematische Texte umgibt, und enth?llt die im wesentlichen einfachen, intuitiven Ideen, die dem Thema zugrunde liegen. Das kann er besser als jeder andere mathematische Autor.

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6. Die Anfangsbedingungen k¨ onnen beliebig sein, aber der Einfachheit halber k¨onnen Sie zun¨achst annehmen, daß alle Anfangswerte verschwinden. Abb. 6. Wie man den Wert der L¨ osung in einem gegebenen Punkt bestimmt. Aufgabe 9. Die Funktion f (t) sei periodisch mit Periode T . Gibt es dann eine periodische L¨ osung mit diesen Randbedingungen? Wenn ja, sind dann sogar alle L¨ osungen periodisch? § 6. Die Methode von Fourier 39 Antwort. Keine periodische L¨ osung existiert zum Beispiel in Resonanzf¨ allen (wenn die Periode T der ¨ außeren Kraft kommensurabel mit der Peri” ode der Eigenschwingungen“ 2l/a ist).

Koorientierte) Hyperebenen im Tangentialraum an eine Mannigfaltigkeit heißen (koorientierte) Kontaktelemente der Mannigfaltigkeit. Sie bilden die Mannigfaltigkeit des B¨ undels der (koorientierten) Kontaktelemente P T ∗ M → M (ST ∗ M → M ) mit den Fasern RP n (S n ), wobei n = dim M −1. Auf diese Weise definiert der Kegel der zul¨assigen Geschwindigkeiten eine Hyperfl¨ ache in der Mannigfaltigkeit der (wom¨ oglich koorientierten) Kontaktelemente der Raum-Zeit. Diese heißt Fresnelsche Hyperfl¨ache in der geometrischen Optik.

Das widerspricht (∗). Damit ist das Lemma bewiesen. Bemerkung. Man kann sich die Methode von Fourier f¨ ur Probleme auf einem Intervall mit diesen oder jenen Randbedingungen ansehen. In der Tat ist die Methode aber ausgearbeitet, um ganz allgemeine Probleme utt = Au zu l¨ osen, wobei u eine Funktion auf einer beliebigen Mannigfaltigkeit sein kann. Dazu muß man zu dem Operator A auf der Mannigfaltigkeit die Eigenwerte und eine orthogonale Basis von Eigenfunktionen finden und dann nach dem obigen Schema verfahren.

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