Download e-book for iPad: Von Zahlen und Grössen: dritthalbtausend Jahre Theorie und by Heinz Lüneburg

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By Heinz Lüneburg

Dieses zweib?ndige Werk handelt von Mathematik und ihrer Geschichte. Die sorgf?ltige examine dessen, was once die Alten bewiesen - meist sehr viel mehr, als sie ahnten -, f?hrt zu einem besseren Verst?ndnis der Geschichte und zu einer guten Motivation und einem ebenfalls besseren Verst?ndnis heutiger Mathematik. Die Themen des ersten Bandes reichen von der Konstruktion der reellen Zahlen mittels dedekindscher Schnitte bis hin zum Fundamentalsatz der Algebra. Dazwischen werden die B?cher V bis X der euklidischen Elemente abgehandelt, wobei insbesondere die eudoxische Proportionenlehre (Buch V) eine zentrale Rolle spielt. Sie bietet einen eleganten Zugang zu den Logarithmen, so dass auch Neper ausf?hrlich zu Wort kommt. Weitere Themen sind die nat?rlichen Zahlen und das Induktionsprinzip; die Entdeckung der L?sungsformeln der Gleichungen dritten und vierten Grades; Polynomringe in beliebig vielen Unbestimmten; symmetrische Polynome und der Satz von Waring.

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215 und 1969, S. 47). Dies ist sicherlich ein seltener Vorgang, dass ein Terminus technicus der Mathematik in die gehobene Umgangssprache Eingang findet. Bemerkenswert ist auch, dass es Cicero war, der das griechische Wort Analogie mit proportio ins Lateinische u ¨ bersetzte (Timaeus seu De universo 4 §12): Id optime assequitur, ” 3. Proportionenlehre 25 quae Graece Ò ÐÓ å ¸ Latine (audendum est enim, quoniam haec primum a nobis novantur) comparatio proportiove dici potest“ (Zitiert nach Szab´ o 1969, S.

B) Sind X, Y , Z ∈ R+ und gilt X ⊕ Z = Y ⊕ Z, so ist X = Y . c) Sind X, Y , Z ∈ R+ und ist X ≤ Y , so ist X ⊕ Z ≤ Y ⊕ Z. d) Sind X, Y ∈ R+ und ist X < Y , so gibt es ein Z ∈ R+ mit X ⊕ Z = Y . e) Sind X, Y , Z ∈ R+ und ist X ⊕ Z = Y , so ist X < Y . , dass α injektiv ist und die Addition wie auch die Anordnung respektiert. g) Es sei Y ∈ R+ und n ∈ N. Definiere nY rekursiv durch 1Y := Y und (n + 1)Y := nY ⊕ Y . Dann ist nY = {ny | y ∈ Y }. h) Ist X ∈ R+ und n ∈ N, so gibt es ein Y ∈ R+ mit nY = X.

Angenommen es w¨are X < Y . Es gibt dann ein y ∈ Y − X. Es ist y = sup(X), da andernfalls y ∈ X w¨are, weil X ja ein normaler Anfang ist. Es gibt also eine nat¨ urliche Zahl urliche Zahl b und ein zb ∈ Z mit a mit y − a1 ∈ X. Nach Satz 6 gibt es eine nat¨ 1 zb + 21b ∈ Z und 21b ≤ 4a . Wegen y − a1 ∈ X ist y − a1 eine obere Schranke von X. 18 Kapitel I. Gr¨ oßen Ist nun x die in Satz 6 beschriebene Folge auf X, so ist also xm ≤ y − 1 m. Es sei m so beschaffen, dass xm + 21m ≥ y − 2a ist. Dann ist 1 a f¨ ur alle 1 1 1 − xm = xm + m − xm ≥ y − m 2 2 2a 1 1 1 −y+ = .

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