Download PDF by Anthony W. Knapp: Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview

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By Anthony W. Knapp

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Nous dirons dor´enavant groupe alg´ebrique affine au lieu de “groupe alg´ebrique isomorphe a` un groupe lin´eaire”. Rappelons qu’un tel groupe est connexe (pour la topologie de Zariski) si et seulement si c’est un ensemble alg´ebrique irr´eductible. 2 Sous-groupes ferm´ es d’un groupe alg´ ebrique affine Th´ eor` eme 1. – (Chevalley)2 Soient G un groupe alg´ebrique affine, H un sous-groupe ferm´e. Alors il existe un nombre fini d’´el´ements Fi de A(G) tels que H soit l’ensemble des s ∈ G admettant les Fi comme semi-invariants dans la repr´esentation lin´eaire r´eguli`ere droite de G dans A(G).

Soient E1 et E2 deux ensembles alg´ebriques, k ′ un souscorps de K contenant k. Soient4 respectivement a et b les id´eaux des ´el´ements 4 On note ⊗ le produit tensoriel sur le corps k. 24 2. Sch´emas des vari´et´es alg´ebriques nilpotents de k(E1 )⊗ k(E2 ) et k(E1 )⊗ k ′ . L’alg`ebre des fonctions rationnelles ′ sur E1 × E2 (resp. E1k ) est canoniquement isomorphe a ` l’anneau total des fractions de (k(E1 ) ⊗ k(E2 ))/a (resp. (k(E1 ) ⊗ k ′ )/b). On se ram`ene imm´ediatement au cas o` u E1 et E2 sont affines (cf.

Alors il existe un nombre fini d’´el´ements Fi de A(G) tels que H soit l’ensemble des s ∈ G admettant les Fi comme semi-invariants dans la repr´esentation lin´eaire r´eguli`ere droite de G dans A(G). On peut supposer que les Fi sont des semi-invariants de mˆeme poids sous H. Si G est connexe, il existe un nombre fini de fonctions rationnelles Gi sur G telles que H soit l’ensemble des s ∈ G tels que Rs Gi = Gi pour tout i. Rappelons qu’on dit qu’un ´el´ement F d’un espace vectoriel o` u op`ere un groupe est semi-invariant sous un s ∈ G si sF est de la forme λ(s)F , o` u λ(s) ∈ K est ´evidemment bien d´etermin´e si F = 0 ; l’ensemble des s ∈ G admettant F comme semi-invariant est ´evidemment un sous-groupe, et λ(s) est un caract`ere multiplicatif sur ce sous-groupe, appel´e poids du semiinvariant F .

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