Nicolas Bourbaki's Groupes et algèbres de Lie: Chapitre 9 PDF

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By Nicolas Bourbaki

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Pour que l'homomorphisme p :G + GL(V) soit injectif, il faut et il sufit que P(p, T) engendre le Z-module X(T). Pour que p soit injectif, il est nécessaire et suffisant que sa restriction à T le soit ($ 2, no 6, prop. 9). Par ailleurs, comme l'homomorphisme canonique GL(V) -t G L ( ~ ) est injectif, on peut remplacer p par j?. Il résulte alors de (7) que le noyau de la restriction de p à T est l'intersection des noyaux des éléments de P(p, T). La conclusion résulte donc de la prop. 2 du no 1.

80, prop. 7). Soient u E AltYM) et v E Altr(M) ; rappelons (A, III, p. 142, exemple 3) qu'on appelle produit alterné de u et v l'élément u A v de Altdr(M) défini par où G,,, est le sous-ensemble du groupe symétrique G,,, formé des permutations dont les restrictions à (1, s) et (s + 1, s + r) sont croissantes. Soit maintenant O-M". M-E*M~-+o une suite exacte de A-modules libres, de rangs respectifs r, r + s et S. Lemme 1.

PROPOSITION 19. - Le groupe Int(G) opère de façon simplement transitive dans l'ensemble des épinglages de G. 43 Soient e = (T, B, (U,)) et e' = (T', B', (Ub)) deux épinglages de G. Il existe des éléments g dans G tels que (Int g) (T) = T', et ces éléments forment une classe modulo NG(T). On peut donc supposer T = T', et il faut prouver qu'il existe un unique élément de IntG(NG(T))qui transforme e en e'. D'après VI, 8 1, no 5, remarque 4, il existe un unique élément w de W(R) tel que w(B) = B'. Comme W(R) s'identifie à NG(T)/T, il existe n E NG(T) tel que w = Int n, et n est bien déterminé modulo T.

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