Download e-book for iPad: Analysis Individuell: Kompakt zum Prüfungserfolg by Professor Dr. Helmut Wolter, Dr. Bernd Ingo Dahn (auth.)

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By Professor Dr. Helmut Wolter, Dr. Bernd Ingo Dahn (auth.)

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Dieser Karper ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt! ) 3/2/10 AbschlieBend betrachten wir noch Funktionenfolgen. Dazu sei M ~ IR und fur jedes n E IN sei In : IR --+ IR eine in M definierte Funktion. Weiterhin sei auch I: IR --+ IR in M definiert. 2 Reelle Zahlen als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen 35 Definition. (Konvergenz von Funktionenfolgen) (1) Die Funktionenfolge (In) konvergiert an der Stelle a E M gegen b Df lim fn(a) n-+oo = b. , fUr jedes fixierte a E M konvergiert die Zahlenfolge (In(a)) gegen die Zahl I(a); diese Art Konvergenz nennen wir auch punktweise K onvergenz).

1st (ai) keine Nullfolge, so ist L ai = O. divergent. 4/1/4 4/1/6 4/1/8 4/1/10 4/1/12 00 Beispiel. L(-l)n ist nicht konvergent, da ((_l)n) keine Nullfolge ist. 4/1/14 n=O Definition. L ai (absolute K onvergenz) ist absolut konvergent Df L lail 4/1/15 ist konvergent. 3 Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent. Bemerkung. Wenn vergent sein. 4 Es seien L ai, L bi konvergent und a, b E IR. 5 00 vergent (und es ist L ai i=k k-l =L i=O 4/1/24 bi. ist konvergent gdw fur jedes k ~ 1 gilt: L ai ist kon- i=O 4/1/23 + b· L 00 00 4/1/21 ai 00 ai + L ai ) .

Dann ist (~) keine Nullfolge, und somit ~ nicht konvergent. L L-\-' 00 4/1/44 4. ). Fur eine geeignete konvergente Majorante konnte man das Majorantenkriterium heranziehen. J n - n + 1 - - k + l' n=1 1 n=1 ist konvergent. 1 Konvergenz von Reihen Folglich ist Sk -+ 1, und somit ist (n eine konvergente Majo- + 1)2· 1 1 L n 2 = 1 + L (n + l)n 00 Aus 00 1 00 ~ rante von 1 L n=1 n(n + 1) 47 00 n=1 n=1 erhiHt man die Behauptung. 5. Wir betrachten jetzt ein Beispiel fur eine Reihe, bei der das Quotientenkriterium versagt (das Wurzelkriterium lieBe sich anwenden).

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