Download e-book for kindle: Analysis I - IV by Hilgert J.

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By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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Die intuitive Vorstellung zur Aussage f (x) hat in x0 den Grenzwert y“ ist: ” f (x) ist beliebig nahe an y, wenn nur x nahe genug an x0 ist“. ” Um diese Vorstellung pr¨azise formulieren zu k¨onnen, muß man zun¨achst sicherstellen, daß die Funktion in den Punkten, die nahe“ bei x0 sind, u uhrt auf den Begriff des Intervalls. ¨berhaupt definiert ist. Dies f¨ ” Seien a, b ∈ R und a < b. Dann heißen die Mengen [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ]a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b} [a, b[ := {x ∈ R | a ≤ x < b} ]a, b[ := {x ∈ R | a < x < b} von a und b begrenzte Intervalle.

S ✻ ........ s s ✲x a x0 b Wenn eine Funktion f : M → R in jedem Punkt von M stetig ist, nennt man sie stetig in M . In der Definition der (einseitigen) Stetigkeit h¨atte man den Punkt x0 auch jeweils mit in die Intervalle einbeziehen k¨onnen, weil |f (x0 ) − f (x0 )| = 0 gilt. Die hier gegebene Formulierung zielt darauf ab, den Zusammenhang mit der Definition des Grenzwerts deutlich herauszuarbeiten: Aus der Definition der Stetigkeit folgt n¨amlich unmittelbar, daß eine Funktion f : M → R dann und nur dann stetig in x0 ∈ M ist, wenn limx→x0 f (x) = f (x0 ) sofern x0 ∈ M ein H¨aufungspunkt von M ist.

6 : Seien f und g reellwertige Funktionen, die auf einer Teilmenge M von R definiert sind und x0 ∈ R erf¨ ulle eine der drei folgenden Bedingungen   ∀δ > 0 : ]x0 , x0 + δ[ ∩M = ∅, ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 [ ∩M = ∅,   ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 + δ[ ∩M = ∅. Wir nehmen an, daß f und g entsprechend ein- oder beidseitige Grenzwerte in x0 haben. und schreiben einfach lim f¨ ur limx→x0 + , limx→x0 − und limx→x0 . Wenn f (x) ≤ g(x) f¨ ur alle x, f¨ ur die f und g definiert sind, dann gilt lim f (x) ≤ lim g(x).

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