Get Analysis 3: Integralrechnung im IRn mit Anwendungen PDF

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By Otto Forster

Der vorliegende Band stellt den dritten Teil eines Analysis-Kurses für Studierende der Mathematik und Physik dar und behandelt die Integralrechnung im IR^n mit Anwendungen, insbesondere solche, die für die theoretische Physik suitable sind. Der textual content wurde für die 6. Auflage grundlegend überarbeitet und die Integrationstheorie wird nun auf maßtheoretischer Grundlage aufgebaut.

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Eine Funktion f:M-*IRU{oo} heißt halbstetig von unten, falls es zu jedem Punkt x E M und jeder Zahl c E IR mit c

Dies ist der Inhalt des folgenden Hilfssatzes. Hilfssatz 1. SeifE ;rt (IRn) und seien fv, Kv E CCc (IRn), v E IN, zwei Funktionenfolgen mit fv t f und Kv t f. Dann gilt lim Jtv(x)dx = lim Jgv(x)dx. v-+oo v-+oo Beweis. Wir zeigen: Für festes k E IR gilt f fk(x)dx ~ lim Jgv(x)dx. J)~OO Aus Symmetriegründen folgt dann die Behauptung. h. hv(x) = min(gv(x),fk(x)) füralle xEIRn. Es gilt hv E CCc{IRn) und hv f fk(x)dx = lim v-+oo t fk, also nach dem Corollar zu Satz 1 Jhv(x)dx~ v-+oo lim JKv(x)dx. Defmition von Jt"~ (IRn) Wir bezeichnen mit Jt"~ {IRn) die Menge aller Funktionen f: IRn """*IR U {-oo}, zu denen es eine Folge fv E CCc {IRn), v EIN, gibt mit fv ~ fv + 1 für alle v EIN und f(x) = lim fv (x) für alle x E IRn.

Pn) E zn und € > 0 die Funktion CXpe: IRn -+IR so gilt CXpe E ct':;" ( IRn) und L pE zn CXpe(X) == 1 ftir alle x E IRn. Der Träger der Funktion CXpe ist der durch {xEIRn: lxv-Pvel;;;e für v= 1, ... ,n} definierte Würfel. Mit Hilfe der Teilung der Eins (cxpe)p E zn kann man andere ct' 00 -Funktionen konstruieren. Satz 1. Sei U c IRn eine offene Menge und K c U eine kompakte Teilmenge. Dann gibt es eine Funktion ß E ct'~ ( U) mit 0;;;: ß;;;: 1 und ßiK == 1. Beweis. Es gibt ein e > 0 derart, daß jeder kompakte Würfel der Seitenlänge 2e, der K trifft, ganz in U enthalten ist.

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