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By Skoruppa N.-P.

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Die entsprechende Ubungsaufgabe im Anhang B). Wichtig ist der Spezialfall k = 2. Hier kann man das Polynom p2 noch in matrizieller Form schreiben. Hessesche Definition. Sei f eine zweimal stetig differenzierbare Abbildung von n Variablen. Die Hessesche von f im Punkt a ∈ Rn ist definiert als die Matrix   f1,1 (a) . . f1,n (a)  f2,1 (a) . . f2,n (a)    Hf (a) =  . .  ..  . fn,1 (a) . . fn,n (a) Bemerkung. h. symmetrisch unter Spiegelung an der Hauptdiagonalen. In Formeln gilt also Hf (a)t = Hf (a).

Stetigkeit in einem Punkt a besagt also, daß die Grenzwertbildung und die Funktionsauswertung vertauscht werden k¨onnen, in Formeln f (lim xn ) = lim f (xn ), falls (xn ) gegen a konvergiert. Beweis des Satzes.. Der Beweis dieses Satzes kann v¨ollig analog zum entsprechenden Satz f¨ ur Funktionen f : R → R aus der Analysis I gef¨ uhrt 1 werden . ¨ Ubung. Mittels des im Satz ausgesprochenen Kriteriums verifitziere man die Stetigkeit der Projektionsund Inklusionsabbildung   x1   • i-ten Projektion pi : Rn → R,  ...

Xn ) = . . angegeben, so sind auch die Schreibweisen ∂r f, ∂xk1 . . ∂xk2 ∂xkr ∂rf ∂xk1 . . ∂xk2 ∂xkr 46 H¨ ohere Ableitungen u ur auch noch ¨blich. ,xk2 ,xk1 . Man beachte jeweils die Reihenfolge der Indizes. Man kann sie sich so merken: Es wird bei jeder dieser Schreibweisen die dem Symbol f n¨ahst stehende Ableitung zuerst ausgef¨ uhrt. r-mal partiell differenzierbar Definition. Sei U ⊆ Rn offen und f : U → Y . Dann heißt f r-mal partiell differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen der Ordnung p mit p ≤ r existieren, und r-mal stetig partiell differenzierbar, wenn zus¨atzlich alle partiellen Ableitungen der Ordnung p mit p ≤ r stetig sind.

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