Analyse complexe pour la Licence 3: Cours et exercices - download pdf or read online

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By Patrice Tauvel

Cours et exercices corrigés sur l. a. théorie des fonctions d'une variable complexe, mettant en valeur los angeles place privilégiée de l'analyse complexe, située entre los angeles géométrie différentielle, los angeles topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique.

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La suite (sn xn )n est bornée si x = 1, car la suite (s n )n converge. Il résulte à nouveau du lemme d’Abel que la série sn xn a un rayon de convergence au moins égal à 1. Comme sn − sn−1 = an pour n 1, il est alors clair que, si |x| < 1 : (1 − x) ∞ sn xn = f (x). n=0 2. Si |x| < 1, on a : ∞ 1 = xn . 1 − x n=0 Par conséquent, toujours pour |x| < 1 : ∞ f (x) − s = (sn − s)xn . 1−x n=0 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que |sn − s| donc : |f (x) − s| N (1 − x) ε si n n.

Pour z ∈ D(0, r)\{z0 }, on a : ∞ S(z) − S(z0 ) = an (z n−1 + z0 z n−2 + · · · + z0n−2 z + z0n−1 ). z − z0 n=1 Considérons la série d’applications fn , où : fn : D(0, r) → C , z → an (z n−1 + z0 z n−2 + · · · + z0n−2 z + z0n−1 ). 3 • Séries entières 40 Chaque fn est continue sur D(0, r). En outre : sup{|fn (z)| ; |z| r} n|an |r n−1 . Comme r < R, la série de terme général n|a n |r n−1 est convergente. Par suite, la série fn est normalement convergente sur D(0, r). Sa somme F est donc continue sur D(0, r).

On dit que f est développable en série entière au point z 0 s’il existe une série entière an z n , de rayon de convergence non nul, et un voisinage V de z 0 dans C tels que, pour tout z∈V : ∞ f (z) = n=0 an (z − z0 )n . 2. Soit f une fonction définie et indéfiniment dérivable dans un voisinage de 0. On appelle série de Mac-Laurin ou série de Taylor à l’origine de f la série entière 1 (n) f (0)z n . n! 3. Soit f une fonction définie dans un voisinage de 0 et admettant un développement en série entière à l’origine.

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